В логах было следующее:
2020/02/12 17:07:32 [error] 2286#2286: *59732 FastCGI sent in stderr: «PHP message: PHP Fatal error: Uncaught Error: Class ‘ZipArchive’ not found in /var/www/адрессайта/upload-handler.php:12
Stack trace:
#0 {main}
thrown in /var/www/адрессайта/upload-handler.php on line 12» while reading response header from upstream, client: айпиадрес, server: адрессайта, request: «POST /upload-handler.php HTTP/1.1», upstream: «fastcgi://unix:/run/php/php7.0-fpm.sock:», host: «адрессайта», referrer: «адрессайта»

Решилось командой: sudo apt-get install php7.0-zip

И затем: service php7.0-fpm restart